Студент колледжа только что решил заведомо невозможную математическую задачу

May 18, 2023

«Hearst Magazines и Yahoo могут получать комиссию или доход от продажи некоторых товаров по этим ссылкам».

Математик, возможно, только что доказал невозможное возможным.

В течение 30 лет математики задавались вопросом, можно ли иметь бесконечный набор чисел, где каждая пара чисел в сумме дает уникальное значение, и чтобы каждое из этих значений было достаточно большим.

В марте аспирант Оксфордского университета наконец решил проблему, обратившись к маловероятному решению: геометрии.

В 1993 году венгерский математик Пауль Эрдеш — один из самых плодовитых математиков 20-го века — поставил вопрос с двумя компонентами, которые, казалось бы, противоречат друг другу: может ли множество Сидона быть «асимптотическим базисом третьего порядка?»

Давайте объясним.

Эти наборы, названные в честь другого венгерского математика, Симона Сидона, по сути представляют собой набор чисел, в котором никакие два числа в наборе не дают в сумме одно и то же целое число. Например, в простом наборе Сидона (1, 3, 5, 11), когда любое из двух чисел в наборе суммируется, они равны уникальному числу. Построить набор Сидона всего из четырех чисел чрезвычайно легко, но по мере увеличения размера набора это становится все сложнее и сложнее. Как только две суммы совпадают, набор чисел больше не считается множеством Сидона.

Второй элемент проблемы Эрдёша — эта пугающе звучащая часть «асимптотического базиса третьего порядка» — означает, что:

набор должен быть бесконечно большим

любое достаточно большое целое число может быть записано как результат сложения не более 3 чисел в наборе.

Итак, эта 30-летняя загадка была сосредоточена на том, могут ли эти два элемента существовать в одном и том же наборе чисел. На протяжении десятилетий ответ казался отрицательным.

Но в марте этого года аспирант Оксфорда Седрик Пилат опубликовал доказательство, подтверждающее существование такого множества Сидона. Достичь этого рубежа было непросто. В 2010 году математики доказали, что множество Сидона может быть асимптотическим базисом 5-го порядка, а три года спустя они доказали, что множество Сидона также может «быть асимптотическим базисом 4-го порядка». Но «порядок 3» оставался неуловимым — некоторые считали его теоретически возможным, но невероятно трудным (и потенциально невозможным) доказать.

«Они тянут в противоположных направлениях», — сказал Пилат журналу Quanta. «Множества Сидона должны быть маленькими, а асимптотический базис должен быть большим. Не было очевидно, что это может работать».

Так как же Пилатту удалось добиться того, чтобы математически квадратный стержень подходил к, казалось бы, круглому отверстию? Он применил нетрадиционный подход и обратился к геометрии, а не к вероятностному методу, отстаиваемому Эрдёшем, и так называемой аддитивной теории чисел. Пилатт заменил числа полиномами и воспользовался недавними работами математиков Колумбийского университета. Объединив эти идеи, Пилат успешно создал множество Сидона, достаточно плотное и случайное, чтобы наконец решить исходную проблему Эрдеша.

Работа Пилата опиралась на открытия многих математиков из разных дисциплин и даже объединяла, казалось бы, несвязанные области математики, чтобы ответить на этот вопрос. «Замечательно, что эти очень глубокие методы алгебраической геометрии также можно использовать для решения простого и конкретного вопроса о наборах чисел», — сказал Пилатт журналу Quanta Magazine.

И при этом оказывается, что еще один «невозможный» математический вопрос вполне возможен.

Вам также может понравиться

Что можно и чего нельзя делать при использовании малярного скотча

Лучшие портативные грили-барбекю для приготовления пищи где угодно

Могут ли умные часы продлить вашу жизнь?